Mickaël Launay
Pi razy drzwi
czyli dziwne przypadki matematyki
Przekład: Krzysztof Rejmer
Tytuł oryginału: Le grand roman des maths: De la préhistoire à nos jours
Wydanie oryginalne 2016
Wydanie polskie 2017
Spis treści:
Rozdział 1. Nieuświadomiona matematyka 7
Rozdział 2. I stała się liczba 21
Rozdział 3. Wstęp tylko dla geometrów 34
Rozdział 4. Czas twierdzeń 47
Rozdział 5. Odrobina metody 66
Rozdział 6. π razy drzwi 78
Rozdział 7. Mniej niż zero 92
Rozdział 8. Potęga trójkątów 105
Rozdział 9. Ku nieznanemu 122
Rozdział 10. Ciąg dalszy nastąpił 133
Rozdział 11. Światy urojone 142
Rozdział 12 We własnym języku 156
Rozdział 13. Alfabet świata 173
Rozdział 14. Nieskończenie małe 186
Rozdział 15. Zmierzyć przyszłość 198
Rozdział 16. Czas maszyn 214
Rozdział 17. Matematyka w przyszłości 231
Epilog. 248
Dla zainteresowanych. 250
Bibliografia. 256
Przypisy. 262
Jestem nieco zdegustowany. Dziś już chyba dziesiąty raz słyszę te słowa. Tymczasem minął dobry kwadrans, odkąd pani, która je tym razem wypowiedziała, przystanęła przy moim stoisku w grupie innych przechodniów, słuchając z uwagą, jak prezentuję różne ciekawostki geometryczne.
- A poza tym czym się pan zajmuje? - zapytała.
- Jestem matematykiem.
- Ojej, ja nigdy nic z tej matematyki nie rozumiałam!
- Ach tak? Ale przecież to, co opowiadałem, jak mi się wydaje, zainteresowało panią.
- Tak... Ale to... To przecież nie jest prawdziwa matematyka. To jest zrozumiałe.
No tak. Coś takiego nigdy nie przyszło mi do głowy. Czyżby matematyka była z definicji nauką, której nie da się zrozumieć?
Początek sierpnia, promenada Félixa Faure’a w miejscowości La Flotte-en-Ré. Jestem na niewielkim letnim targowisku. Po mojej prawej stronie można sobie zrobić tatuaż henną czy drobne warkoczyki, po lewej mam sprzedawcę akcesoriów do telefonów komórkowych, a przed sobą prezentację biżuterii i najrozmaitszych cacek. A pośród tego wszystkiego ja z moim matematycznym stoiskiem. W wieczornym chłodzie spokojnie przechadzają się urlopowicze. Uwielbiam prezentowanie matematyki w niezwykłych miejscach. Wszędzie tam, gdzie ludzie się tego nie spodziewają. Tam, gdzie tracą swoją zwykłą nieufność...
- Starzy nie uwierzą, że podczas wakacji uczyłem się matematyki! - rzuca mi licealista powracający z plaży.
Fakt, podchodzę ich nieco zdradziecko. Ale jak trzeba, to trzeba. To są moje ulubione chwile. Uwielbiam obserwować, jak zachowują się ludzie przeświadczeni, że są całkiem na bakier z matematyką, kiedy proponuję im zagłębienie się w niej na kwadrans. Wokół mnie nie robi się wcale pusto. Pokazuję im origami, magiczne sztuczki, gry i zagadki... Dla każdego coś miłego.
Dobrze się przy tym bawię, ale w głębi duszy jest mi jednak przykro. Jak to się stało, że trzeba ukrywać przed ludźmi, że zajmują się matematyką, żeby czerpali z tego przyjemność? Dlaczego to słowo budzi w nich strach? Jest oczywiste, że gdybym na moim stoliku umieścił szyldzik „matematyka”, równie dobrze widoczny jak napisy „biżuteria i naszyjniki”, „telefony” albo „tatuaże” znajdujące się na sąsiednich stoiskach, nawet w czwartej części nie odniósłbym takiego sukcesu. Ludzie nie zatrzymywaliby się. Być może nawet skręcaliby w bok, odwracając spojrzenie.
* * *
Ciekawość bierze jednak górę. Obserwuję to na co dzień. Matematyka budzi strach, ale i fascynuje. Nie lubią jej, choć chcieliby lubić. Albo przynajmniej zyskać wgląd w jej mroczne głębie. Uważają tę dziedzinę za hermetyczną i niedostępną. To nieprawda. Przecież można kochać muzykę, nie będąc muzykiem albo cieszyć się dobrym posiłkiem, nie będąc wielkim kucharzem. Dlaczego zatem należałoby być matematykiem lub posiadać wyjątkowy intelekt, by słuchać opowieści o matematyce i pozwolić pieścić swój umysł algebrze lub geometrii? Nie trzeba wchodzić w techniczne detale, żeby rozumieć wielkie idee i dać się nimi oczarować.
A zatem pora wyruszyć w drogę. Jeśli pozwolicie, będę waszym przewodnikiem. Poprowadzę was przez meandry jednej z najbardziej fascynujących i zdumiewających nauk. Pójdźmy na spotkanie ludzi tworzących historię dzięki ich nieoczekiwanym odkryciom i fantastycznym ideom.
Matematykę, całkiem nieświadomie, kształtowali od zarania dziejów liczni artyści, twórcy, odkrywcy, rzemieślnicy, a także rozmaici marzyciele i ludzie ciekawi świata. Mimo wszystko byli to matematycy. Pierwsi, którzy stawiali pytania, którzy szukali, burzyciele i myśliciele. Jeśli chcemy ich zrozumieć, dowiedzieć się, skąd wzięła się matematyka, musimy podążyć ich śladami, bo to od nich wszystko się zaczęło.
Ruszajmy zatem ku wielkiej przygodzie z matematyką!
P
o powrocie do Paryża na miejsce mojego nowego eksperymentu wybieram Luwr, położony w samym środku stolicy. Matematyka w Luwrze? Wydaje się to absurdalne. Ta dawna rezydencja królewska zamieniona na muzeum dziś jest raczej przestrzenią przeznaczoną dla malarzy, rzeźbiarzy, archeologów oraz historyków niż dla matematyków. A jednak to właśnie tu poszukamy ich pierwszych śladów.
Od wejścia wita mnie wielka piramida ze szkła wzniesiona na dziedzińcu Napoleona, będąca zaproszeniem do geometrii. Jednak ja wybieram się dziś na spotkanie ze znacznie odleglejszą przeszłością. Wchodzę do muzeum i ruszam wehikułem czasu, coraz bardziej oddalając się od współczesności. Defiluję przed królami Francji, przemierzam renesans i średniowiecze, by dotrzeć do antyku. Sale przesuwają się jedna po drugiej, mijam rzymskie posągi, greckie amfory i egipskie sarkofagi. Zmierzam ku jeszcze wcześniejszym czasom. I oto zanurzam się w prehistorii, a wędrując tak przez stulecia, muszę o wszystkim zapomnieć. Zapomnieć o liczbach. Zapomnieć o geometrii. Zapomnieć o literach. Na początku nikt nic nie wiedział. Nawet tego, że trzeba coś wiedzieć.
Pierwszy przystanek w Mezopotamii. I oto cofnęliśmy się o dziesięć tysięcy lat.
Po chwili namysłu decyduję się podążyć jeszcze dalej. Półtora miliona lat wstecz, żeby znaleźć się w samym sercu paleolitu. W tej epoce ogień nie ma jeszcze funkcji użytkowej, a Homo sapiens jest dopiero dalekim projektem. Jesteśmy w królestwie Homo erectus w Azji, Homo ergaster w Afryce, być może także wśród kilku naszych na razie nieodkrytych kuzynów. To epoka kamienia łupanego. W użyciu są pięściaki.
Oto na skraju obozowiska pracują wytwórcy pięściaków. Jeden z nich właśnie chwycił bułę jeszcze nieobrobionego krzemienia, którą znalazł przed kilkoma godzinami. Siada na ziemi - zapewne po turecku - bierze leżący obok siebie ciężki kamień i trzymając bułę w drugiej dłoni, zaczyna uderzać kamieniem w jej brzeg. Odpryskuje pierwszy odłamek. Hominid ogląda wynik swojej pracy, obraca krzemień i powtórnie uderza z drugiej strony. Po odłupaniu z krzemienia dwóch kawałków powstają w nim wgłębienia, które spotykając się, tworzą ostrą krawędź. Teraz nie pozostaje już nic innego, jak powtarzać tę czynność na całym obwodzie krzemienia. W kilku miejscach pięściak jest zbyt gruby i trzeba jeszcze usunąć trochę materiału, żeby nadać wykonywanemu przedmiotowi pożądaną formę.
Bo kształt pięściaka nie jest wcale dziełem przypadku ani chwilowej fantazji. Jest przemyślany, wypracowany, przekazywany z pokolenia na pokolenie. Istnieje kilka ich rodzajów, w zależności od epoki i miejsca wykonania. Niektóre mają wygląd kropli wody z wystającym końcem, z kolei inne, bardziej zaokrąglone, mają kształt jajka, podczas gdy jeszcze inne przypominają raczej równoramienny trójkąt o lekko wypukłych bokach.
Pięściak z dolnego paleolitu
Wszystkie one mają jednak pewien wspólny element: oś symetrii. Czy taka geometria ma w sobie jakiś aspekt praktyczny, czy też stoi za nią po prostu doznanie estetyczne, które skłoniło naszych przodków do wyboru tej właśnie formy? Trudno powiedzieć. Pewne jest tylko jedno: że symetria nie bierze się z przypadku. Twórca musi przemyśleć swoje uderzenie. Musi myśleć o formie, zanim jeszcze przystąpi do dzieła. Zbudować w sobie mentalny, abstrakcyjny obraz przedmiotu, który ma wykonać. Mówiąc inaczej, posłużyć się matematyczną wyobraźnią.
Ukończywszy pracę, twórca pięściaka ogląda nowe narzędzie. Trzymając je w palcach, patrzy na nie pod światło. Chce lepiej zbadać kształt, żeby go dopracować, uderzyć tu czy tam, aż wreszcie wszystko będzie takie, jakie być powinno. O czym wtedy myśli? Czy odczuwa ową wspaniałą ekscytację, jaka towarzyszy naukowemu odkryciu: świadomość możliwości zrozumienia i kształtowania świata dzięki wykorzystaniu abstrakcyjnej idei? To nieistotne, że wielkie czasy myślenia abstrakcyjnego jeszcze nie nadeszły. Przecież epoka wymaga pragmatyzmu. Pięściak potrzebny jest do cięcia drewna, krojenia mięsa, przebijania skóry, kopania w ziemi.
Teraz jednak posuńmy się tylko trochę w naszej wędrówce. Pozwólmy spać owym pradawnym czasom i może zbyt ryzykownym hipotezom; powróćmy do tego, co będzie właściwym punktem wyjścia dla naszej przygody: do Mezopotamii w VIII tysiącleciu p.n.e.
Na ziemiach Żyznego Półksiężyca, w krainie, która kiedyś zostanie nazwana Irakiem, trwa właśnie rewolucja neolityczna. Dotarła tu niedawno. Osadnictwo odniosło już sukces na równinach Północy. Rejon ten stanowi swoiste laboratorium dla wszystkich innych nowinek. Skupiska domów z glinianych cegieł zaczynają tworzyć wioski, a co bardziej odważni budowniczowie dodają do tych domów piętra. Rolnictwo jest już bardzo dobrze rozwinięte. Dobry klimat pozwala na uprawę ziemi bez sztucznego nawadniania. Zwierzęta i rośliny są stopniowo udomowiane. Ceramika nabiera kształtów.
No właśnie, pomówmy o ceramice! Bo choć wiele świadectw tej epoki znikło bezpowrotnie w meandrach czasu, to niektóre wciąż istnieją. Archeolodzy znajdują wciąż tysiące garnków, talerzy, dzbanów, misek, czasz. Muzealne witryny wokół mnie są ich pełne. Najstarsze liczą sobie dziewięć tysięcy lat i z sali do sali, tak jak kamyki Tomcia Palucha, prowadzą nas przez stulecia. Mają różne wielkości i wszystkie możliwe kształty, różne zdobienia, reliefy, malowidła, grawerunki. Niektóre mają podstawy, część jest wyposażona w uchwyty. Niektóre są całe, inne popękane, potłuczone, poskładane z kawałków, a z jeszcze innych pozostały tylko nieliczne fragmenty.
Ceramika jest pierwszym wytworem powstałym z użyciem ognia, starszym niż brąz, żelazo czy szkło. Z gliny, owej plastycznej i kopalnej substancji, która występuje obficie na tamtych zasiedlonych przez ludzi terenach, garncarze potrafią tworzyć przedmioty odpowiadające ludzkim potrzebom. Jeśli mają one właściwy kształt, wystarczy suszyć je przez kilka dni, a potem wypalić w wielkim ogniu, by je utwardzić. Technika ta jest znana od bardzo dawna. Już dwadzieścia tysięcy lat temu wytwarzano w ten sposób niewielkie posążki. Jednak dopiero niedawno, wraz z osadnictwem, pojawiła się myśl, by w ten sposób wyrabiać przedmioty codziennego użytku. Nowy styl życia pociągnął za sobą konieczność magazynowania, dlatego zaczęto wytwarzać bardzo pojemne naczynia.
Owe terakotowe pojemniki szybko się rozprzestrzeniły jako przedmioty codziennego użytku, niezbędne w zbiorowej organizacji wiejskiego życia. Potem pozostały jeszcze do zrobienia naczynia stołowe, tyleż trwałe, co i piękne. Wkrótce ceramikę zaczęto dekorować. I tu znów zrodziło się wiele różnych szkół. Jedni twórcy wykonywali motywy dekoracyjne w świeżej glinie za pomocą muszli lub patyka. Inni grawerowali wypalone już naczynia odłamkami kamienia. Jeszcze inni woleli malować powierzchnię, wykorzystując do tego naturalne barwniki.
Kiedy wędruję po salach starożytnego Wschodu, uderza mnie bogactwo motywów geometrycznych stworzonych w Mezopotamii. Tak samo jak w przypadku pięściaków wykonywanych przez pradawnych wytwórców, niektóre symetrie wydają się zbyt pomysłowe, by mogły nie być wynikiem dojrzałego namysłu. Moją uwagę przyciągają fryzy - ozdobne pasy obiegające brzegi waz. Fryzy są dekoracyjnymi wstęgami powstałymi z użyciem jednego prostego motywu, który wielokrotnie powtarza się wzdłuż obwodu naczynia. Do najczęściej spotykanych motywów należy piła o trójkątnych zębach. Istnieją też fryzy tworzone przez dwa przeplatające się pasma. Są fryzy w jodełkę, kwadratowe krenelaże, punktowane romby, szrafowane trójkąty, splatające się ze sobą okręgi...
Kiedy przechodzę do kolejnych rejonów i epok, spostrzegam wciąż nowe wzory. Niektóre motywy są bardzo popularne. Są one powtarzane, przekształcane, ulepszane, pojawiają się w różnych wariantach. A potem, kilka stuleci później, zostają porzucone, jako przeżytek zastąpione nowymi wzorami, zgodnymi z duchem czasu.
Oglądam ich defiladę, a moje oczy matematyka aż błyszczą. Widzę symetrie, obroty, przesunięcia. Wtedy zaczynam w myślach selekcjonować i porządkować wzory. Przypomina mi się kilka twierdzeń poznanych podczas studiów. Klasyfikacja geometrycznych przekształceń[1], tego właśnie mi trzeba - wyjmuję zeszyt oraz ołówek i zaczynam bazgrać.
Przede wszystkim widoczne są tu obroty. Na wprost mnie znajduje się fryz stworzony z zazębiających się elementów o kształcie litery S. Przekrzywiam głowę, żeby zyskać pewność. Tak, oczywiście. Ten motyw jest niezmienniczy ze względu na obrót o sto osiemdziesiąt stopni. Jeśli obrócę dzban do góry nogami, wygląd fryzu będzie dokładnie taki sam.
Są tu również i inne symetrie. Istnieje kilka ich rodzajów. Powoli uzupełniam listę i to poszukiwanie skarbów zaczyna mnie wciągać. Szukam fryzów odpowiadających poszczególnym przekształceniom geometrycznym. Przechodzę z jednej sali do drugiej, zawracam. Niektóre eksponaty są uszkodzone. Czasem muszę mrużyć oczy, żeby odtworzyć w wyobraźni motywy zdobiące gliniane naczynie sprzed tysięcy lat. Gdy znajdę coś nowego, zaraz sprawdzam. Czytam opis, żeby poznać chronologię pojawiania się wzorów.
Ile powinienem ich znaleźć? Po chwili zastanowienia w końcu udaje mi się to określić dzięki słynnemu twierdzeniu. Istnieje dokładnie siedem rodzajów fryzów. Siedem grup geometrycznych przekształceń, które pozostawiają je niezmienionymi. Ani mniej, ani więcej.
Oczywiście mieszkańcy Mezopotamii tego wszystkiego nie wiedzieli. Ponieważ teoria, o której mówię, pojawiła się w epoce odrodzenia! Jednakże nieświadomie i bez innego celu niż dekorowanie ceramiki harmonijnymi i oryginalnymi motywami owi prehistoryczni garncarze stworzyli podwaliny niesamowitej dziedziny, którą zajmowała się cała społeczność matematyków kilka tysięcy lat później.
Przeglądam notatki. Są niemal kompletne. Niemal? Jeden z tych siedmiu wzorów wciąż gdzieś mi umyka. Trochę się tego spodziewałem, bo to najbardziej skomplikowany wzór spośród wszystkich znajdujących się na mojej liście. Szukam takiego, który obrócony poziomo wygląda tak samo, ale dopiero po przesunięciu o połowę długości pojedynczego elementu. Dziś nazywamy to symetrią z poślizgiem. Prawdziwe wyzwanie dla mieszkańców Mezopotamii!
Ponieważ mam jeszcze przed sobą sporo sal, nie tracę nadziei. Śledztwo trwa. Obserwuję najdrobniejsze detale, szukam najskromniejszej wskazówki. Piętrzą się przykłady zaobserwowanych już sześciu wzorów. W moim zeszycie mieszają się daty, schematy i bazgroły. Wciąż jednak nie ma śladu tajemniczego siódmego fryzu.
Nagle czuję uderzenie adrenaliny. Dostrzegam w gablocie żałośnie wyglądający ceramiczny ułomek, zaledwie drobny fragment jakiegoś naczynia. Od góry do dołu biegną przezeń nakładające się na siebie cztery częściowe, lecz dobrze widoczne fryzy. Jeden z nich natychmiast przyciąga moją uwagę. Trzeci w kolejności. Składa się z elementów przypominających nachylone fragmenty prostokąta, które układają się w kształt kłosa. Mrugam w niedowierzaniu, a potem uważnie mu się przyglądam i robię szkic w zeszycie, jak gdybym obawiał się, że wzór zniknie mi sprzed oczu. Geometria jest tu właśnie taka, jak być powinna. Oto symetria z poślizgiem. Odnalazł się siódmy fryz.
Obok tego eksponatu jest tabliczka z opisem: „Fragment pucharu dekorowanego poziomym pasem i punktowanymi rombami. Połowa V tysiąclecia p.n.e.”.
Umieszczam to na mojej osi czasu. V tysiąclecie przed Chrystusem. To wciąż jeszcze prehistoria, ponad tysiąc lat przed wynalezieniem pisma, a twórcy ceramiki z Mezopotamii znali już, nawet o tym nie wiedząc, wszystkie przypadki twierdzenia, które zostało udowodnione dopiero sześć tysięcy lat później.
Kilka sal dalej odkrywam dzban z trzema uchwytami, który także należy do siódmej kategorii; choć motyw rozwija się spiralnie, struktura geometryczna jest ta sama. Nieco dalej jeszcze jeden przykład. Chcę kontynuować poszukiwania, ale nagle zmienia się scenografia - dotarłem do kresu zbiorów orientalnych. Idąc dalej, znajdę się w Grecji. Ostatnie spojrzenie na moje notatki. Fryzy z symetrią z poślizgiem można policzyć na palcach jednej dłoni. Robi mi się gorąco.
Pierwsza kategoria to te... które nie mają żadnej szczególnej właściwości geometrycznej[2]. To powtarzający się motyw bez żadnych osi symetrii czy też środków obrotu. Dotyczy to przede wszystkim motywów, które nie wykorzystują figur geometrycznych, a jedynie rysunki figuratywne, takie jak postacie zwierząt.
Druga kategoria to te, w których linia pozioma dzieląca fryz na połowy jest osią symetrii.
Do trzeciej kategorii należą fryzy z pionową osią symetrii. Ponieważ fryz zawiera motyw powtarzający w poziomie, także oś symetrii powtarza się w poziomie.
Do czwartej kategorii należą fryzy niezmiennicze ze względu na obrót o kąt półpełny. Jeśli popatrzycie na ten rysunek, a potem odwrócicie go do góry nogami, to za każdym razem ujrzycie to samo.
Piąta kategoria to symetria z poślizgiem. To jest ta słynna kategoria, którą odkryłem, kończąc oglądanie kolekcji ceramiki z Mezopotamii. Jeśli przekształcicie ten fryz, obracając go wokół osi poziomej (jak w przypadku drugiej kategorii), otrzymacie fryz podobny, ale przesunięty o połowę długości podstawowego motywu.
Szósta i siódma kategoria nie odpowiadają nowym przekształceniom geometrycznym, ale łączą kilka cech omówionych w poprzednich przypadkach. I tak fryzy należące do kategorii szóstej mają i poziomą, i pionową oś obrotu, a także mają środek obrotu o kąt półpełny.
Siódma kategoria to fryzy o pionowej osi symetrii, środku obrotu i o symetrii z poślizgiem.
Trzeba zauważyć, że ten podział dotyczy jedynie struktury geometrycznej i nie wyklucza istnienia różnych wariacji kształtu motywu. I tak poniższe fryzy, choć odmienne, wszystkie należą do siódmej kategorii.
A zatem każdy fryz, jaki tylko moglibyśmy wymyślić, będzie należał do jednej z siedmiu kategorii. Jakakolwiek inna kombinacja jest geometrycznie niemożliwa. Zdumiewające, że najczęściej spotyka się dwie ostatnie kategorie. Łatwiej jest bez namysłu rysować figury, które mają wiele symetrii, niż takie, które mają ich mało.
Po sukcesie, który odniosłem na wystawie sztuki Mezopotamii, następnego dnia przypuszczam szturm na antyczną Grecję. Ledwie trafiam na miejsce, a już nie wiem, w którą stronę obrócić głowę. Nagle polowanie na fryzy staje się dziecinną igraszką. Wystarcza zaledwie kilka kroków, rzut oka na kilka gablot, kilka czarnych amfor zdobionych czerwonymi postaciami, by odnaleźć reprezentantów wszystkich siedmiu rodzajów fryzów z mojej listy. Wobec takiej obfitości porzucam statystykę, którą prowadziłem, oglądając ceramikę Mezopotamii. Zdumiewa mnie bogactwo wyobraźni artystów. Pojawiają się wciąż nowe motywy, za każdym razem bardziej złożone i pomysłowe. Wielokrotnie muszę zrobić przerwę i skupić się, żeby rozwikłać splatające się i wirujące wokół mnie zawijasy.
W kącie jednej z sal dostrzegam lutroforę, której widok odbiera mi dech. Lutrofora jest podłużną amforą z dwoma uchwytami, która służyła do noszenia wody do kąpieli, ta tutaj jest wysoka na ponad metr. Jej fryzy nawarstwiają się, a ja zaczynam przypisywać im kategorie. Pierwsza. Druga. Trzecia. Czwarta. Piąta. W ciągu kilku sekund identyfiku...
entlik